2021陕西单招本科真题数学及答案解析

2021年陕西省高职单招（本科层次）数学真题解析

2021年陕西省高职院校单独招生考试（本科层次）数学试题，整体难度适中，注重基础知识的考查，同时兼顾逻辑思维与实际应用能力。试题内容覆盖代数、函数、三角、数列、概率统计、立体几何等多个模块，强调对基本概念的理解和运算能力的掌握。以下选取部分典型题目进行详细解析，以帮助考生夯实基础、提升应试能力。

一、选择题典型例题解析

【例1】已知集合 ( A = {x \mid x^2 - 5x + 6 = 0} )，( B = {2, 3, 4} )，则 ( A \cap B = )（ ）

A. {2}
B. {3}
C. {2, 3}
D. {2, 3, 4}

【解析】
首先解方程 ( x^2 - 5x + 6 = 0 )，因式分解得：
( (x - 2)(x - 3) = 0 )，所以 ( x = 2 ) 或 ( x = 3 )，即 ( A = {2, 3} )。
又 ( B = {2, 3, 4} )，故交集 ( A \cap B = {2, 3} )。
答案：C。

【例2】函数 ( f(x) = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{x - 2} ) 的定义域是（ ）

A. ( [1, 2) \cup (2, +\infty) )
B. ( (1, +\infty) )
C. ( [1, +\infty) )
D. ( (2, +\infty) )

【解析】
函数由两部分组成：

1. ( \sqrt{x - 1} ) 要求 ( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 )；
2. ( \frac{1}{x - 2} ) 要求分母不为零，即 ( x \neq 2 )。
   综合得定义域为 ( x \geq 1 ) 且 ( x \neq 2 )，即 ( [1, 2) \cup (2, +\infty) )。
   答案：A。

二、填空题典型例题解析

【例3】已知等差数列 ( {a_n} ) 中，( a_3 = 7 )，( a_7 = 15 )，则公差 ( d = ) __。

【解析】
等差数列通项公式：( a_n = a_1 + (n - 1)d )。
由题意：
( a_3 = a_1 + 2d = 7 ) ……（1）
( a_7 = a_1 + 6d = 15 ) ……（2）
（2）－（1）得：( 4d = 8 \Rightarrow d = 2 )。
答案：2。

【例4】若 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，且 ( \alpha ) 为第二象限角，则 ( \cos \alpha = ) __。

【解析】
利用同角三角函数关系：
( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 )
( \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} )
( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{4}{5} )
由于 ( \alpha ) 在第二象限，余弦值为负，故 ( \cos \alpha = -\frac{4}{5} )。
答案：( -\dfrac{4}{5} )。

三、解答题典型例题解析

【例5】已知函数 ( f(x) = x^2 - 4x + 3 )。

（1）求该函数的最小值；
（2）求不等式 ( f(x) < 0 ) 的解集。

【解析】
（1）函数为二次函数，开口向上，其最小值出现在顶点处。
顶点横坐标：( x = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 )
代入得：( f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 )
故最小值为 ( -1 )。

（2）解不等式 ( x^2 - 4x + 3 < 0 )。
先解方程 ( x^2 - 4x + 3 = 0 )，得 ( x = 1 ) 或 ( x = 3 )。
因抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间：
( (1, 3) )。

【例6】某校高三年级有男生300人，女生200人。现用分层抽样的方法从中抽取50名学生进行调查，问应抽取男生多少人？

【解析】
总人数：300 + 200 = 500人。
男生占比：( \frac{300}{500} = \frac{3}{5} )。
按比例分层抽样，应抽取男生人数为：
( 50 \times \frac{3}{5} = 30 )（人）。
答案：30人。

四、备考建议

1. 夯实基础：单招数学以基础题为主，务必熟练掌握集合、函数、不等式、数列、三角函数等核心知识点。
2. 重视计算：避免因粗心导致失分，尤其在解方程、化简表达式、求值等环节要仔细验算。
3. 规范答题：解答题需写出关键步骤，即使结果错误，过程正确仍可得分。
4. 限时训练：模拟真实考试环境，提升解题速度与准确率。

综上所述，2021年陕西单招本科数学试题体现了“重基础、考能力、讲应用”的命题导向。考生在复习过程中应紧扣考纲，强化典型题型训练，注重知识的系统性与解题的规范性，方能在考试中取得理想成绩。